סיכום צזארו

באנליזה מתמטית, סיכום צזארו מאפשר לתת ערכים לטורים אינסופיים שאינם מתכנסים במובן המקובל. סכום צזארו מוגדר כגבול, כאשר $n$ שואף לאינסוף, של סדרת הממוצעים החשבוניים של $n$ הסכומים החלקיים הראשונים של הטור. במובן של תורת הסומביליות, שיטה זאת נותנת לטור אינסופי את הערך ההגיוני והסביר ביותר. למעשה, הסתכלות הסתברותית על בעיית הסיכום של טור מתבדר מאפשרת לפרש את סכום צזארו כממוצע של סדרת הסכומים החלקיים עד הסכום החלקי ה- $n$ -י, כאשר $n$ שואף לאינסוף. השיטה נקראת על שם האנליסט האיטלקי ארנסטו צזארו (1859–1906).

הגדרה

תהי $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרה, ויהי

s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}

הסכום החלקי ה- $k$ שלה.

הסדרה $a_{n}$ תיקרא ניתנת לסכימה לפי צזארו, עם סכום צזארו $A\in \mathbb {R}$ , אם, כאשר $n$ שואף לאינסוף, הממוצע החשבוני של $n$ הסכומים החלקיים הראשונים שלה $s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}$ שואף ל- $A$ :

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A

.

הערך של הגבול המתקבל ייקרא סכום צזארו של הטור $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ . אם הטור הזה מתכנס במובן הרגיל, אז סכום צזארו שלו שווה לסכום הרגיל.

דוגמאות

דוגמה ראשונה

תהי $a_{n}=(-1)^{n}$ בעבור $n\geq 0$ . כלומר, $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ היא הסדרה $(1,-1,1,-1,\ldots )$ . יהי $G$ הטור $G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots$ . הטור $G$ ידוע כטור גרנדי.

נסמן ב- $(s_{k})_{k=0}^{\infty }$ את סדרת הסכומים החלקיים של $G$ :

${\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}$

סדרת הסכומים החלקיים לא מתכנסת, כך שהטור $G$ מתבדר. אף על פי כן, $G$ ניתן לסכימה במובן צזארו. תהי $(t_{n})_{n=1}^{\infty }$ סדרת הממוצעים החשבוניים של $n$ הסכומים החלקיים הראשונים:

{\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right)\end{aligned}}

אז

\lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2

,

ולפיכך, סכום צזארו של הטור $G$ הוא 1/2.

דוגמה שנייה

כדוגמה אחרת, ניקח $a_{n}=n$ בעבור $n\geq 1$ . כלומר, $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ היא הסדרה

(1,2,3,4,\ldots )

.

נסמן כעת ב- $G$ את הטור

G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots

סדרת הסכומים החלקיים $(s_{k})_{k=1}^{\infty }$ היא

(1,3,6,10,\ldots )

.

מכיוון שסדרת הסכומים החלקיים גדלה עד לאינסוף, הטור $G$ מתבדר. הסדרה $(t_{n})$ של ממוצעים של סכומים חלקיים של $G$ היא:

\left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right)

.

הסדרה הזאת מתבדרת לאינסוף גם כן, כך ש- $G$ אינו ניתן לסכימה לפי צזארו. למעשה, בעבור כל סדרה שמתבדרת לאינסוף (חיובי או שלילי), שיטת צזארו מובילה לסדרה שמתבדרת גם היא, ולפיכך סדרות כאלו אינן ניתנות לסכימה לפי צזארו. עם זאת, במידה ולסדרה המקורית כמה גבולות חלקיים, ייתכן שאחד הגבולות החלקיים יהיה אינסוף (חיובי או שלילי) ובכל זאת ניתן יהיה לסכום את הסדרה בשיטת צזארו.

סיכום צזארו מסדר $\alpha$

ב-1890, ארנסטו צזארו הראה כי קיימת משפחה רחבה יותר של שיטות סכימה, אשר נקראו מאז $(\mathrm {C} ,\alpha )$ בעבור $\alpha$ שלם אי-שלילי. שיטות אלו מאפשרות לסכום גם טורים שאינם מתכנסים במובן שתואר מקודם. כדי להמחיש את הרעיון הכללי, נפתח בדוגמה. "נוכיח" שערך הטור $\sum _{n=1}^{\infty }n(-1)^{n-1}=1-2+3-4+\cdots$ הוא ${\frac {1}{4}}$ .

סדרת הסכומים החלקיים הראשונים של הטור הזה היא $1,-1,2,-2,3,-3,...$ . מכאן נקבל שסדרת הממוצעים החשבוניים של $n$ הסכומים החלקיים הראשונים של הטור היא $1,0,2/3,0,3/5,0,...$ . כלומר הטור אינו מתכנס לפי סיכום צזארו מסדר ראשון. הערך ההגיוני ביותר לתת לטור עמו התחלנו הוא הממוצע של סדרת הממוצעים החשבוניים. נשים לב כי במקומות האי-זוגיים בסדרת הממוצעים החשבוניים מופיעה סדרה שגבולה קיים ושווה ל-1/2, בעוד שבמקומות האי-זוגיים מופיע תמיד 0. לפיכך הממוצע של סדרת הממוצעים החשבוניים תהיה שווה לחצי כפול הגבול של סדרת הממוצעים החשבוניים של סדרה שמתכנסת ל-1/2. על פי משפט שטולץ-צזארו, סדרת הממוצעים החשבוניים של סדרה שגבולה $L$ מתכנסת גם היא ל- $L$ , ולפיכך תמה ההוכחה שסכום הטור הוא 1/4.

המקרה הכללי

השיטה שתוארה בדוגמה האחרונה היא למעשה סיכום צזארו מסדר שני $(\mathrm {C} ,2)$ . השיטה $(\mathrm {C} ,0)$ היא סכימה רגילה, בעוד ש- $(\mathrm {C} ,1)$ היא סיכום צזארו כפי שתואר בדוגמה הראשונה בערך. השיטות מסדר גבוה יותר מתקבלות מהפעלה חוזרת של סיכום צזארו, וניתנות לתיאור באופן הפורמלי הבא: בהינתן טור $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ , נגדיר את הגדלים:

{\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}

ונגדיר את $E_{n}^{\alpha }$ להיות $A_{n}^{\alpha }$ בעבור הטור $1+0+0+0+\dots$ . אז סכום $(\mathrm {C} ,\alpha )$ של הטור $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ יסומן $(C,\alpha ){\textrm {-}}\sum a_{n}$ , ויוגדר כ-: